SISTEMAS DE ECUACIONES

1.- Sistema de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones de primer grado, en el cual se relacionan dos o más incógnitas.


En los sistemas de ecuaciones, se debe buscar los valores de las incógnitas, con los cuales al reemplazar, deben dar la solución planteada en ambas ecuaciones.

A cada una de las ecuaciones se les denomina también restricciones o condiciones.

Todo sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y,  tiene las siguientes representaciones:


Donde x e y son las incógnitas, y a,b,c,d,e y f son coeficientes reales (ℝ).

Las incógnitas establecidas en un sistema representan el punto donde se intersectan las rectas en un plano cartesiano (x,y).

1.1- ¿Qué es un plano cartesiano?

Por si no lo recuerdas, un plano cartesiano son 2 rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otro vertical que se cortan en un punto llamado origen o cero del sistema.

2- Métodos de resolución algebraica para sistemas de ecuaciones

a) Reducción

Consiste en igualar los coeficientes de una misma incógnita en ambas ecuaciones y, enseguida, sumar o restar las ecuaciones, de modo que se eliminen los términos cuyos coeficientes se igualaron.

Ejemplo:


Paso 1-  Igualaremos una de las incógnitas del sistema. En este caso, nosotros empezaremos igualando la incógnita y. Para ello, multiplico la segunda ecuación por 2, quedando 4x+2y= 28


Paso 2- Ahora, sumamos o restamos (según se requiera) los términos semejantes, para reducir (eliminar) el término con coeficiente común.


Luego, resuelvo la ecuación, quedando así x=5, ya que:


Ya tenemos el valor de una de las incógnitas. Para identificar el otro valor, debemos remplazar en una de las ecuaciones el valor que obtuvimos de x. en este caso:


Por lo tanto la solución a nuestro sistema de ecuaciones es →  S:  (5, 4)

b) Sustitución

Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en otra ecuación.

Ejemplo:


Primero, despejaremos cualquiera de las incógnitas de esta ecuación. Nosotros escogeremos despejar x en la segunda ecuación. Para ello, moveremos todos los términos que no sean x hacia el otro lado de la igualdad.


Conociendo el valor de x, sustituimos en la otra ecuación:



Una vez conocemos el valor de la otra incógnita (en este caso, y), sustituimos en la ecuación:


Solución:  (20,14) 

c) Igualación

Consiste en despejar la misma variable de ambas ecuaciones del sistema. Una vez despejada, se igualan los resultados, despejando la única variable que queda.

Ejemplo:


 1°Debemos despejar cualquiera de las incógnitas de la ecuación. En este caso, nosotros optamos por despejar y.


2° Se igualan las expresione obtenidas: y = y


3° Ahora, se resuelve la ecuación resultante, que tiene una incógnita:


Una vez identificado el valor de «x», remplazamos en cualquiera de las ecuaciones del sistema.


Solución: (20,10) 

3- Tipos de sistemas

Existen 3 tipos de sistemas de ecuaciones: Los sistemas equivalentes, los sistemas sin solución o incompatibles, y lossistemas con infinitas soluciones o compatible indeterminado.

a- Sistemas equivalentes

Son aquellos que se caracterizan por tener una única solucióna partir de dos incógnitas. En el plano cartesiano, se representan al formarse rectas secantes (solo un punto en la recta).

Por ejemplo:


Realizando las operaciones de suma y resta, se obtiene:


Remplazando:


S (2,5)


b– Sistema incompatible:

Son aquellos sistemas en donde no hay ninguna solución posible. En el plano cartesiano, se representan con rectas paralelas (ningún punto).

Ejemplo:


En el ejemplo anterior, podemos observar que dos ecuaciones iguales dan como resultado un número distinto. Esto quiere decir que las ecuaciones no tienen resultados en común, ya que si los tuviese, el resultado de ambas ecuaciones sería el mismo.

En el plano cartesiano, las ecuaciones se representarían de una forma independiente. Se obtienen dos rectas paralelas (no se intersecan). Por lo tanto, el sistema no tiene solución.


c- Sistemas compatible indeterminado:

Son aquellos sistemas en donde existen infinitas soluciones. En el plano cartesiano, se representa con rectas coincidentes (infinitos puntos).

Ejemplo:


En este caso, podemos observar que las ecuaciones de este sistema son exactamente iguales, ya que 2x+2y=6 es lo mismo que x+y=3, pero amplificado por 2. Esto quiere decir, que cualquier punto de la recta es la solución del sistema.

Por lo tanto:


3.1- ¿Cómo identificar cada sistema?

Identificar un sistema es muy sencillo. Para hacerlo, debes tener en cuenta las siguientes consideraciones:


– Si la multiplicación entre a y e, y la multiplicación entre b y d dan valores distintos, significa que el sistema es equivalente.

– Si la multiplicación entre a y e, y la multiplicación entre b y d dan valores iguales, significa que el sistema o es incompatible, o es un sistema compatible indeterminado. Para identificarlo, debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones:


a) Si la multiplicación entre b y f, y la multiplicación entre c y e dan valores distintos, significa que el sistema es incompatible.

b) Si la multiplicación entre b y f, y la multiplicación entre c y e dan valores iguales, significa que el sistema es compatible indeterminado. 


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PROBLEMAS RESUELTOS SOBRE SISTEMAS DE ECUACIONES

Para poder resolver un sistema de N incógnitas necesitamos tener N ecuaciones. En realidad, también necesitamos que las ecuaciones sean linealmente independientes, pero no tendremos en cuenta esta necesidad en este nivel.

En esta sección tenemos problemas cuya resolución requieren el planteamiento de sistemas de ecuaciones de dimensión 2 (dos ecuaciones y dos incógnitas). Si no recordamos cómo resolver los sistemas (igualación, reducción y sustitución), podemos volver al video sobre  resolución de sistemas (métodos básicos).

Otros métodos son la eliminación de Gauss y la Regla de Cramer.

 

Problema 1

Dos números suman 25 y el doble de uno de ellos es 14. ¿Qué números son?

Solución

x= primer número

y= segundo número

Los números suman 25:

x + y = 25

El doble de uno de los números es 14:

2x = 14

Tenemos el sistema


Aplicamos substitución


Por tanto, los números son 7 y 18.


Problema 2

El doble de la suma de dos números es 32 y su diferencia es 0. ¿Qué números son?

Solución

x= primer número

y= segundo número

El doble de la suma de los números es 32:

2(x + y) = 32

La diferencia de los números es 0:

x – y = 0

Tenemos el sistema


Aplicamos reducción


Por tanto, los números son 8 y 8.


Problema 3

Hallar un número de dos cifras que cumpla:

  • La segunda cifra es el doble de la primera
  • La suma de las cifras es 12.

Solución

El número es xy donde x es la primera cifra e y la segunda.

La segunda cifra es el doble de la primera:

y = 2x

La suma de las cifras es 12:

x + y = 12

Tenemos el sistema


Resolvemos por substitución


Por tanto, el número es 48.

 

Problema 4

Ana tiene el triple de edad que su hijo Jaime. Dentro de 15 años, la edad de Ana será el doble que la de su hijo. ¿Cuántos años más que Jaime tiene su madre?

Solución

a = edad de Ana

j = edad de Jaime

La edad de Ana es el triple que la de Jaime:

a = 3j

Dentro de 15 años, la edad de Ana será el doble que la de Jaime:

( a + 15 ) = 2( j + 15 )

Tenemos el sistema


Resolvemos por substitución


Ana tiene 45 años y su hijo Jaime 15, por tanto, Ana tiene 30 años más que su hijo.

Problema 5

Hemos comprado 3 canicas de cristal y 2 de acero por 1,45€ y, ayer, 2 de cristal y 5 de acero por 1,7€. Determinar el precio de una canica de cristal y de una de acero.

Solución

c = número de canicas de cristal

a = número de canicas de acero

3 canicas de cristal y 2 de acero valen 1.45€:

3c + 2a = 1,45

2 canicas de cristal y 5 de acero valen 1.7€:

2c + 5a = 1,7

Tenemos el sistema


Resolvemos por reducción


Una canica de acero vale 0.2€ y una de cristal 0.35€.

Problema 6

Averiguar el número de animales de una granja sabiendo que:

  • la suma de patos y vacas es 132 y la de sus patas es 402.
  • se necesitan 200kg al día para alimentar a las gallinas y a los gallos. Se tiene un gallo por cada 6 gallinas y se sabe que una gallina come una media de 500g, el doble que un gallo.
  • se piensa que la sexta parte de los conejos escapan al comedero de las vacas, lo que supone el triple de animales en dicho comedero.

Solución

a. Hay que tener en cuenta que cada pato tiene 2 patas y cada vaca 4.

p = número de patos

v = número de vacas

La suma de los animales es 132:

p + v = 132

La suma de las patas es 402 (dos patas por pato y cuatro por vaca):

2p + 4v = 402

Tenemos el sistema


Resolvemos por reducción


Hay 63 patos y 69 vacas.

b. Puesto que las cantidades de pienso que consumen son aproximadas, no obtendremos el número exacto de animales, sólo una estimación.

y = número de gallos

x = número de gallinas

Hay un gallo por cada 6 gallina: x = 6y

Una gallina come 0,5kg y un gallo 0,25kg. En total consumen 200kg:

0,5x + 0,25y = 200

Tenemos el sistema


Aplicamos substitución


Los resultados son decimales ya que las cantidades de comida que consumen son aproximadas.

Podemos decir que hay 61 gallos y 366 gallinas.

c. Sabemos que hay 69 vacas.

c = número de conejos

La sexta parte de conejos está junto a las vacas, por lo que hay 69 + c/6 animales en el comedero de las vacas.

Al contar los conejos, el número de animales en el comedero de las vacas es el triple: (69 + c/6) = 69·3

Resolvemos la ecuación de primer grado


Hay 828 conejos.

Resumiendo:



Problema 7

En un examen tipo test, las preguntas correctas suman un punto y las incorrectas restan medio punto. En total hay 100 preguntas y no se admiten respuestas en blanco (hay que contestar todas).

La nota de un alumno es 8.05 sobre 10. Calcular el número de preguntas que contestó correcta e incorrectamente.

Solución

Escribimos la nota sobre 100 en vez de sobre 10:

8.05⋅10=80.58.05⋅10=80.5

Llamamos x al número de respuestas correctas e y al número de respuestas incorrectas.

Puesto que se deben contestar todas las preguntas, debe cumplirse la ecuación

x+y=100x+y=100

Cada respuesta correcta suma 1 y cada incorrecta resta 0.5:

1⋅x−0.5⋅y=80.51⋅x−0.5⋅y=80.5

Ahora resolvemos el sistema de ecuaciones por sustitución:

Aislamos la x en la primera ecuación:

x+y=100x+y=100

x=100−yx=100−y

Ahora sustituimos x en la segunda ecuación:

x−0.5⋅y=80.5x−0.5⋅y=80.5

(100−y)−0.5⋅y=80.5(100−y)−0.5⋅y=80.5

Resolvemos la ecuación de primer grado:

100−y−0.5⋅y=80.5100−y−0.5⋅y=80.5

100−80.5=y+0.5y100−80.5=y+0.5y

19.5=1.5y19.5=1.5y

y=19.51.5=13y=19.51.5=13

Tenemos que el número de respuestas incorrectas es y = 13.

Fácilmente calculamos el número de respuestas correctas:

x=100−y=100−13=87

 

 

 

 

PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO

PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO


 

 

  1. Un mayorista de Minka invierte S/ 72 000 en la compra de café y azúcar. El quintal de café cuesta S/ 10 más que el de azúcar que vale S/ 68. Si hubiera pagado el azúcar al precio del café y viceversa hubiera gastado S/ 3 450 más ¿Cuántos quintales más de azúcar que café compró?

     

  2. El papá de Carmen y Diego desea repartir entre ambos S/ 800. Si el doble de lo que recibe Diego excede en S/ 100 a lo que recibe Carmen. ¿Cuánto recibe Diego?

     

  3. Calcular el jornal que se le paga a un obrero, si el dueño de la fábrica del Callao paga por día S/1 500 correspondientes a 40 jornales de obreros y a 75 jornales de ayudantes, siendo que con el mismo gasto podría duplicar la cantidad de obreros y reducir a 25 el número de ayudantes.

     

  4. En una oficina se requiere de un escritorio, de un sillón giratorio y un mueble para computadora, calculando el gasto total en S/ 430. Si el costo del mueble de computadora excede en S/ 70 el costo de la silla giratoria y el costo del escritorio excede en S/ 40 al doble del costo de la silla ¿Cuánto cuesta el escritorio?

     

  5. Juana observa que su profesora de Lógico Matemático tiene una caja con pelotitas blancas, rojas y verdes. La profesora le comenta que el número de pelotitas entre blancas y rojas es 32, entre blancas y verdes 27 y entre rojas y verdes 29. ¿Cuántas pelotitas blancas hay?

     

  6. En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 bolígrafos a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos chicos y chicas están en mi clase?

     

  7. Un número consta de dos cifras cuya suma es 9. Si se invierte el orden de las cifras el resultado es igual al número dado más 9 unidades. Hallar dicho número.

     

  8. Sabemos que mi tío tiene 27 años más que su hijo y que dentro de 12 años le doblará la edad. ¿Cuántos años tiene cada uno?

     

  9. En una granja se crían crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?

     

  10. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre Matemática. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió correctamente?

     

     

    ENVIAR LA RESOLUCIÓN

     

  11. Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174.

     

  12. Juan y Roberto comentan: Juan: «Si yo te tomo 2 monedas, tendré tantas como tú» Roberto: «Sí, pero si yo te tomo 4, entonces tendré 4 veces más que tú». ¿Cuántas monedas tienen cada uno?


     

PRÁCTICA CALIFICADA

RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS:

Problema 1

La suma de dos números es 12 y la mitad de uno de ellos el doble del otro. ¿Qué números son?

Solución


 

 

 

 

 

 

Problema 2

Tenemos dos números cuya suma es 0 y si a uno de ellos le sumamos 123 obtenemos el doble del otro. ¿Qué números son?

Solución


 

 

 

 

 

 

Problema 3

En un concierto benéfico se venden todas las entradas y se recaudan 23 mil dólares. Los precios de las entradas son 50 dólares las normales y 300 dólares las vip.

Calcular el número de entradas vendidas de cada tipo si el aforo del establecimiento es de 160 personas.

Solución


 

 

 

 

 

 

Problema 4

Un niño realiza las siguientes observaciones sobre un parque infantil de pelotas:

  • Hay pelotas verdes, rojas y amarillas.
  • El número de pelotas verdes y pelotas rojas es cinco veces el número de las amarillas.
  • El número de pelotas verdes es el triple que el de amarillas.
  • El total de pelotas amarillas y rojas asciende a 123.

Solución


 

 

 

 

 

Problema 5

Calcular el número de números positivos de 3 cifras (mayores que 99) tales que una de sus cifras es 0 y las otras dos cifras suman 7.

Solución


 

 

 


 

PROBLEMAS ADICIONALES

PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO

1. Para ingresar a una feria gastronómica, María paga $ 84por 4 entradas de adulto y 3 de niño, mientras que Manuel paga $ 70 por 5 entradas de niño y dos de adulto ¿Cuál es el precio de cada entrada de adulto y de niño?

2. Un examen de matemática consta de 20 preguntas. El profesor suma 5 puntos por cada respuesta correcta y resta 2 puntos por cada pregunta no contestada o mal resuelto. Si un estudiante ha obtenido 44 puntos en el examen ¿Cuántas preguntas ha contestado correctamente?

3. Delia ha iniciado un negocio de venta de quequitps. Para ofrecer al público sus productos debe colocarlos en cajas de cartón de forma de prisma. Rectangular. En una fábrica de reciclaje, ella ha comprado cartones rectangulares cuyos lados están en relación de 2 a 3 y se sabe que el largo excede al ancho en 10 cm. A fin de elaborar las cajas, a dichos cartones se le cortara cuadrados de x centímetros de lado por las esquinas ¿Cuánto miden los lados del cartón?

4. Los estudiantes del 5° grado de secundaria ganaron el concurso “RECICLAJE ES MEJORAR NUESTRO PLANETA”. Por ello, obtuvo como premio una visita a la fábrica de cartones. Allí recibieron una charla sobre el proceso de reciclaje. A la mitad de la charla, se retiraron 10 mujeres y se obtuvo que el número de varones era el doble que el de mujeres. Luego casi al final de la charla se retiraron 45 varones y se observó que el número de mujeres era el doble que el de varones ¿Cuántos estudiantes asistieron a la charla?

5. Por los 79 soles que tenía José, le dieron 5 euros y 20 dólares, mientras que a María por los 65 soles le dieron 10 euros, y 10 dólares ¿En cuántos soles han cotizado el euro y dólar?

6. Una tienda dedicada a la comercialización de sanitarios y grifería ha puesto a la venta un caño ahorrador que reduce en 30 % el consumo de agua. Este mes la tienda ha recaudado $ 1000 por la venta de 15 caños entre ahorradores y no ahorradores. Además se sabe que cada caño ahorrador se vendió a $ 80 y cada caño no ahorrador a $ 40 ¿Cuántos caños ahorradores y cuantos no ahorradores se vendieron?

7. Daniel y sus amigos van a un parque de diversiones para subirse al juego la bola de juego (que cuesta $ 5) y a los carros chocones (que cuesta un total 1 dólar menos). Si Daniel sube un total de 11 veces y gasta $ 50 ¿Cuantas veces subió a cada atracción?

8. Jorge le dice a David: “La relación de nuestras edades hace tres años era de 3 a 2 y dentro de 13 será de 7 a 6”. ¿Cuántos años suman sus edades actualmente?

9. Un gran salón de recepciones acoge a 100 personas entre hombres y mujeres. Si cada caballero pagó S/. 30 por la entrada y cada dama pagó S/. 10 por el mismo concepto, siendo la recaudación total de S/. 2200, ¿cuántos hombres más que mujeres asistieron a la reunión?

10. Se compraron 20 kg de productos entre azúcar y arroz. Si un kilogramo de azúcar cuesta 4 soles y un kilogramo de arroz cuesta 3 soles. ¿Cuántos kilogramos de arroz se compró si el gasto total fue 72 soles?

11. Una sección del colegio está compuesta de 25 alumnos entre hombres y mujeres. Si el cuádruple de la cantidad de hombres excede en 15 a la cuarta parte de la cantidad de mujeres, ¿cuál es la cantidad de hombres que hay en la sección?

12. Dos números son tales que al quintuplicar uno de ellos y sumarle el doble del segundo se obtiene el cuadrado de 6, y al duplicar el primero y restarle el segundo se obtiene el cuadrado d 3. Calcular la suma de dichos números.

13. La Institución Educativa organizo una campaña de reciclaje de botellas de plástico para lo cual coloco dos contenedores de diferente tamaño. Se sabe que al término de la campaña se recolectaron un total de 4000 Kg. De plástico. Además al traspasar 50 Kg de un contenedor a otro, este quedo con el triple de peso anterior ¿Cuantos kilogramos de plástico había inicialmente en cada contenedor?